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部分拓扑性质的总结

栏目：行业资讯发布时间：2024-07-08

有一句话说的好，拓扑学就是研究图形的拓扑性质的学科。笔者虽然还只是刚刚入门，但是学了两章的点集拓扑之后，算是对这句话有了些初步的认同。在拓扑学中，拓扑性质（分离性、紧性、连通性等等）是重要且繁多的，其中的关系

有一句话说的好，拓扑学就是研究图形的拓扑性质的学科。笔者虽然还只是刚刚入门，但是学了两章的点集拓扑之后，算是对这句话有了些初步的认同。在拓扑学中，拓扑性质（分离性、紧性、连通性等等）是重要且繁多的，其中的关系更是错综复杂。最近看书看的有点上头（其实就是太快了），还是先写篇文章理理思路，再往下看商空间和代数拓扑。

这篇文章不会完全照搬课本上的顺序，也不会覆盖书上所有的命题（只讲重要的和我喜欢的，其它比较简单的要么不写要么不证），并且会加入一些我自己的理解。话不多说，我们进入正题。

先来罗列一下几种最主要的拓扑性质。

分离性(Hausdorff)：一个拓扑空间 $\ ext{X}$ 称为是Hausdorff的，若 $\\forall x_1,x_2\\in X$ ,都存在 $X$ 中开集 $U_1$ 和 $U_2$ 分别包含 $x_1$ 和 $x_2$ ，且 $U_1\\cap U_2=\\varnothing$ .
紧性(compactness)：一个拓扑空间 $\ ext{X}$ 称为是紧的，若 $\ ext{X}$ 的任意开覆盖中能取出 $\ ext{X}$ 的有限覆盖.
连通性(connectedness)：一个拓扑空间 $\ ext{X}$ 称为是连通的，若 $X$ 除了 $\\varnothing$ 和自身外没有其他的开闭子集（既开又闭的子集）.
道路连通性(path connectedness)：一个拓扑空间 $X$ 称为是道路连通的，如果 $\\forall p,q\\in X$ ,都存在一条连接p、q的道路，并以p为起点，q为终点。

它们要成为拓扑性质，就需要在连续映射下保持不变（从而在同胚映射下不变）。这一点的证明对它们都是简单的，只需要应用一次连续映射的定义就能够轻松地说明，所以我们都不证。

这里做几点remark：

关于分离性，很多书上都会讲好几种分离性，有什么T1、T2、T3、T4。但是毫无疑问，其中最重要的、在各种场景下应用最多的，还是T2公理，也就是Hausdorff，所以另外几种我就按下不表。
关于紧性，可以回忆数学分析中的有限覆盖定理。这也说明了 $[a,b]$ （赋予欧氏拓扑的子空间拓扑）是 $R$ 的紧子集。（紧子集取的一定是子空间拓扑）
连通性还有一种等价的定义方式：如果 $X$ 连通，那么若 $X=U\\cup V$ 其中U、V是开集,且满足 $U\\cap V=\\varnothing$ (从而U、V也是闭集) ,则 $U$ 和 $V$ 中有一个是空集。等价性是比较显然的，因为后一种定义相当于找到了 $U$ 和 $V$ 这两个不同于 $\\varnothing$ 和 $X$ 的开闭子集。
道路的定义（如果你忘了的话）：一个连续映射 $\\Gamma：[0,1]\\rightarrow X$ ，起点为 $\\Gamma(0)$ ，终点为 $\\Gamma(1)$ 。

接下来我们一个个分析。

hausdorff真的是一个很好的性质了，为什么这么说呢？来看下面这两个例子。

命题1.1：Hausdorff空间中序列的如果存在极限点，那么极限点唯一。

证：反证。假设存在两个极限点，即 $\\lim_{n \\rightarrow \\infty}{x_n}=y_1$ 且 $\\lim_{n \\rightarrow \\infty}{x_n}=y_2$ ,其中 $y_1\ e y_2$ 。那么根据Hausdorff，存在开集 $U_1$ 包含 $y_1$ 以及开集 $U_2$ 包含 $y_2$ ，并且 $U_1\\cap U_2=\\varnothing$ 。又根据极限点的定义，存在 $N_1$ ,使得任意给定 $n>N_1$ ，都有 $x_n\\in U_1$ 。同样地，存在 $N_2$ ,使得任意给定 $n>N_2$ ，都有 $x_n\\in U_2$ 。这时，取 $n>max\\left\\{ N_1,N_2 \\right\\}$ ,就有 $x_n\\in U_1\\cap U_2=\\varnothing$ ,而这是不可能的。

反例：考虑如下拓扑空间 $(X,\ au)$ ： $X=\\left\\{ 0,1 \\right\\}$ ， $\ au=\\left\\{ \\left\\{ 0 \\right\\},\\left\\{ 0,1 \\right\\},\\varnothing \\right\\}$ ,则可以验证对于序列 $x_n=0$ ，0和1都是它的极限点。

命题1.2：若拓扑空间 $Y\\subset X$ ,那么：X是hausdorff的+Y是X的紧子集 $\\Rightarrow$ Y是X中闭集

证：只需说明X\\Y是开集。任取 $x_0\\in X\\backslash Y$ ,再取 $y_i\\in Y$ ,那么必有 $x_0\ e y_i$ .由hausdorff，存在开集 $U_i\ i x_0$ ,开集 $V_i\ i y_i$ ,且 $U_i\\cap V_i=\\varnothing$ .则 $\\bigcup_{i\\in I}V_i$ 构成了Y的一族开覆盖，我们从中取出有限覆盖，不妨记为 $V_1,V_2,\\dots,V_n$ ,其对应的含 $x_0$ 的 $X\\backslash Y$ 中开集为 $U_1,U_2,\\dots,U_n$ .容易说明开集 $\\bigcap_{k=1}^{n}U_k$ 与各 $V_k$ 交集为空，从而与Y交集为空。于是我们找到了包含 $x_0$ 且包含在 $X\\backslash Y$ 中的开集，证毕。（这个证明似乎体现了“有限覆盖”和“有限交”的一些若有若无的关系）

反例：还是考虑拓扑空间 $(X,\ au)$ ： $X=\\left\\{ 0,1 \\right\\}$ ， $\ au=\\left\\{ \\left\\{ 0 \\right\\},\\left\\{ 0,1 \\right\\},\\varnothing \\right\\}$ ,容易验证 $\\left\\{ 0 \\right\\}$ 是紧的但不闭。

注1：“闭集是紧集”这一说法也是错误的，考虑无限维向量空间中的单位闭球。这句话仅在有限维赋范向量空间中成立。

注2：结合命题2和注1，可以得出 $R^n$ 中有界闭集 $\\Leftrightarrow$ 紧集。（有界性可以利用局部有界+有限覆盖来说明）

从给出的两个反例的角度看，hausdorff其实刻画了一个拓扑空间的精细程度。一方面是X本身的“细”，R中的点的分布肯定比 $\\left\\{ 0,1 \\right\\}$ 更密集；一方面是选取的拓扑 $\ au$ 的“细”，最细的离散拓扑空间一定是hausdorff的，而平凡拓扑空间一定不是hausdorff的。

“紧”和“闭”的关系上面已经讨论过了，下面证明紧的可乘性。

命题2.1：若拓扑空间X、Y都是紧的，那么 $X\ imes Y$ 也是紧的。

证： $\\forall x\\in X$ ,显然 $\\left\\{ x \\right\\}\ imes Y$ 与 Y 同胚，从而 $\\left\\{ x \\right\\}\ imes Y$ 紧。设 $\\left\\{ U_\\alpha^x\ imes V_\\alpha^x \\right\\}_{\\alpha\\in I}$ 覆盖 $\\left\\{ x \\right\\}\ imes Y$ ，则可以取出有限覆盖，记为 $U_1^x\ imes V_1^x,\\dots,U_n^x\ imes V_n^x$ .我们取遍 $x\\in X$ ,于是 $\\bigcup_{x\\in X}^{}\\bigcup_{k=1}^{n}U_k^x\ imes V_k^x$ 覆盖 $X$ ,从中选出有限覆盖 $\\bigcup_{l=1}^{m}\\bigcup_{k=1}^{n}U_k^l\ imes V_k^l$ ,它同时也是 $X\ imes Y$ 的有限覆盖，证毕。（这个证明感觉有些“点动成线，线动成面”的味道。不过也是好想的，有限乘有限还是有限嘛）

有时我们还会遇到其它紧性，现在列举两个如下，并且不加证明地给出这几种紧性的关系。

定义：拓扑空间X称为是极限点紧的，若X的任意无限子集有极限点。
定义：拓扑空间X称为是列紧的，若任意X中的无限点列 $\\left\\{ x_n \\right\\}$ 中能取出收敛子列。

一般来说，紧 $\\Rightarrow$ 极限点紧，列紧 $\\Rightarrow$ 极限点紧，反过来一般不成立。而紧与列紧通常不能互推。（极限点紧就是个弟弟）

特别地，在度量空间中，紧 $\\Leftrightarrow$ 列紧 $\\Leftrightarrow$ 极限点紧。在R中，容易发现它们就是实数完备性的其中几种等价表述。

首先我们证明R（欧氏拓扑）是连通的。（这个证明感觉比较巧妙，似乎是叫Lebesgue方法？）

命题3.1：赋予欧氏拓扑的R是连通的。

证：反证。假设R不连通，那么存在不同于空集和全集的开闭子集U。取 $x_1\\in R\\backslash U$ , $x_2\\in U$ ,不妨设 $x_1<x_2$ 构造集合 $S=\\left\\{ x\\in R|[x_1,x]\\subset R\\backslash U \\right\\}$ ,则S有上界 $x_2$ ,从而有上确界s.若 $s\\in U$ ,由于U开，存在s的一个邻域 $(s-\\delta,s+\\delta)$ 包含于U，从而 $s-\\frac{\\delta}{2}$ 是一个更小的上界，与s是上确界矛盾；若 $s\\in R\\backslash U$ ,由于U闭，存在s的一个邻域 $(s-\\delta,s+\\delta)$ 包含于R\\U，则 $x=s+\\frac{\\delta}{2}$ 属于S，与s是上界矛盾。证毕。

推论： $X\\subset R$ 连通 $\\Leftrightarrow$ X是区间。

只需证明“ $\\Leftarrow$ ”，并且其构造也是简单的，留作习题好了。

（迫不及待）然后是一个真的非常非常好用的结论：

命题3.2：若拓扑空间X可以表示为一族连通子集 $\\left\\{ F_\\alpha \\right\\}_{\\alpha\\in I}$ 的并集，并且任意两个 $F_\\alpha$ 相交非空，则X连通。

证明：假设 $X=U\\cup V$ ,其中U、V是开集且 $U\\cap V=\\varnothing$ ,并设U、V非空也不是X。由于 $X=\\bigcup_{\\alpha\\in I}^{}F_\\alpha$ ,则 $U=\\bigcup_{\\alpha\\in I}^{}(F_\\alpha\\cap U)$ .由于U非空，一定存在某一个 $F_i\\cap U$ 非空，由于U是X的开闭子集，它就是 $F_i$ 的非空的开闭子集，又因为 $F_i$ 连通，于是 $F_i\\cap U=F_i$ ,从而 $F_i\\subset U$ .同理，我们可以证明某一个 $F_j\\subset V$ .如此， $F_i$ 与 $F_j$ 交集为空，矛盾。证毕。（真漂亮！）

这个结论威力很大。我们用它来证明下面3个命题。

命题3.3：若拓扑空间X和Y连通，则 $X\ imes Y$ 连通。

证：模仿上面证明乘积紧性的想法。考虑 $F_{x,y}=(\\left\\{ x \\right\\}\ imes Y)\\cup(X\ imes \\left\\{ y \\right\\})$ ,其中并起来的两部分都连通且至少有一个交点 $(x,y)$ ，由上面的命题, $F_{x,y}$ 连通.于是 $\\bigcup_{x\\in X,y\\in Y}F_{x,y}$ 就等于整个 $X\ imes Y$ ，并且 $(x',y)\\in F_{x,y}\\cap F_{x',y'}$ ，从而两两相交非空，再用一次结论就得到 $X\ imes Y$ 连通。

命题3.4： $R^2\\backslash\\left\\{ p \\right\\}$ 连通。

证：只要证 $R^2\\backslash\\left\\{ (0,0) \\right\\}$ 连通。与上面类似构造 $F_{x,y}$ ,只不过最终换成 $\\bigcup_{x\ e 0,y\ e 0}F_{x,y}$ 即可。

命题3.5：X道路连通 $\\Rightarrow$ X连通。

证：固定取空间中一点p，任取一点q，pq之间的道路 $\\Gamma_q$ 作为[0,1]的像都是连通的。又因为 $\\bigcup_{q\\in X}\\Gamma_q$ 覆盖整个X，并且两两之间至少有交点p，从而X是连通的。

经典反例: $R^2\\supset X=Y\\cup Z$ ,其中 $Y=\\left\\{ (0,y)|-1\\leq y \\leq 1 \\right\\}$ , $Z=\\left\\{ (x,sin\\frac{\\pi}{x})|0<x\\leq 1 \\right\\}$ ，那么X连通但不道路连通。

接下来一个很自然的问题是：连通加上什么条件能推出道路连通？我们引出如下定义。

定义：一个拓扑空间X称为是局部道路连通的，如果 $\\forall p\\in X$ , $\\forall$ p的开邻域U，都存在包含于U的一个p的开邻域V，且V道路连通。

*这里跳过了“邻域基”的概念，所以定义有些繁琐。

命题3.6：X连通+X局部道路连通 $\\Rightarrow$ X道路连通

证：留(lan)作(de)习(da)题(zi)

但请注意“道路连通 $\\Rightarrow$ 局部道路连通”一般是不行的。反例： $R^2\\supset X=\\left\\{ (x,y)|x\\in Q \\or y=0 \\right\\}$ .

我们知道了这么多拓扑性质，它们在同胚映射下保持不变，也就是两个空间同胚的必要条件。我们可以用拓扑性质来验证两个空间不同胚。下面举几个简单的例子。

例1：一维球面 $S^1$ 与R不同胚，因为前者紧而后者不紧。
例2：[0,1)与R不同胚。

这个稍微证一下。假设存在同胚 $\\varphi:[0,1)\\rightarrow R$ ,那么“挖”去0这个点，也就是将 $\\varphi$ 限制在(0,1)上依然是同胚。即 $\\varphi|_{(0,1)}=(0,1)\\rightarrow R\\backslash\\left\\{ \\varphi(0) \\right\\}$ 是同胚。但是前者连通而后者不连通（不是区间），因此不同胚。