有一句话说的好,拓扑学就是研究图形的拓扑性质的学科。笔者虽然还只是刚刚入门,但是学了两章的点集拓扑之后,算是对这句话有了些初步的认同。在拓扑学中,拓扑性质(分离性、紧性、连通性等等)是重要且繁多的,其中的关系更是错综复杂。最近看书看的有点上头(其实就是太快了),还是先写篇文章理理思路,再往下看商空间和代数拓扑。
这篇文章不会完全照搬课本上的顺序,也不会覆盖书上所有的命题(只讲重要的和我喜欢的,其它比较简单的要么不写要么不证),并且会加入一些我自己的理解。话不多说,我们进入正题。
先来罗列一下几种最主要的拓扑性质。
它们要成为拓扑性质,就需要在连续映射下保持不变(从而在同胚映射下不变)。这一点的证明对它们都是简单的,只需要应用一次连续映射的定义就能够轻松地说明,所以我们都不证。
这里做几点remark:
接下来我们一个个分析。
hausdorff真的是一个很好的性质了,为什么这么说呢?来看下面这两个例子。
命题1.1:Hausdorff空间中序列的如果存在极限点,那么极限点唯一。
证:反证。假设存在两个极限点,即 且
,其中
。那么根据Hausdorff,存在开集
包含
以及开集
包含
,并且
。又根据极限点的定义,存在
,使得任意给定
,都有
。同样地,存在
,使得任意给定
,都有
。这时,取
,就有
,而这是不可能的。
反例:考虑如下拓扑空间 :
,
,则可以验证对于序列
,0和1都是它的极限点。
命题1.2:若拓扑空间,那么:X是hausdorff的+Y是X的紧子集
Y是X中闭集
证:只需说明X\\Y是开集。任取 ,再取
,那么必有
.由hausdorff,存在开集
,开集
,且
.则
构成了Y的一族开覆盖,我们从中取出有限覆盖,不妨记为
,其对应的含
的
中开集为
.容易说明开集
与各
交集为空,从而与Y交集为空。于是我们找到了包含
且包含在
中的开集,证毕。(这个证明似乎体现了“有限覆盖”和“有限交”的一些若有若无的关系)
反例:还是考虑拓扑空间 :
,
,容易验证
是紧的但不闭。
注1:“闭集是紧集”这一说法也是错误的,考虑无限维向量空间中的单位闭球。这句话仅在有限维赋范向量空间中成立。
注2:结合命题2和注1,可以得出 中有界闭集
紧集。(有界性可以利用局部有界+有限覆盖来说明)
从给出的两个反例的角度看,hausdorff其实刻画了一个拓扑空间的精细程度。一方面是X本身的“细”,R中的点的分布肯定比 更密集;一方面是选取的拓扑
的“细”,最细的离散拓扑空间一定是hausdorff的,而平凡拓扑空间一定不是hausdorff的。
“紧”和“闭”的关系上面已经讨论过了,下面证明紧的可乘性。
命题2.1:若拓扑空间X、Y都是紧的,那么也是紧的。
证: ,显然
与 Y 同胚,从而
紧。设
覆盖
,则可以取出有限覆盖,记为
.我们取遍
,于是
覆盖
,从中选出有限覆盖
,它同时也是
的有限覆盖,证毕。(这个证明感觉有些“点动成线,线动成面”的味道。不过也是好想的,有限乘有限还是有限嘛)
有时我们还会遇到其它紧性,现在列举两个如下,并且不加证明地给出这几种紧性的关系。
定义:拓扑空间X称为是极限点紧的,若X的任意无限子集有极限点。
定义:拓扑空间X称为是列紧的,若任意X中的无限点列中能取出收敛子列。
一般来说,紧 极限点紧,列紧
极限点紧,反过来一般不成立。而紧与列紧通常不能互推。(极限点紧就是个弟弟)
特别地,在度量空间中,紧 列紧
极限点紧。在R中,容易发现它们就是实数完备性的其中几种等价表述。
首先我们证明R(欧氏拓扑)是连通的。(这个证明感觉比较巧妙,似乎是叫Lebesgue方法?)
命题3.1:赋予欧氏拓扑的R是连通的。
证:反证。假设R不连通,那么存在不同于空集和全集的开闭子集U。取 ,
,不妨设
构造集合
,则S有上界
,从而有上确界s.若
,由于U开,存在s的一个邻域
包含于U,从而
是一个更小的上界,与s是上确界矛盾;若
,由于U闭,存在s的一个邻域
包含于R\\U,则
属于S,与s是上界矛盾。证毕。
推论:连通
X是区间。
只需证明“ ”,并且其构造也是简单的,留作习题好了。
(迫不及待)然后是一个真的非常非常好用的结论:
命题3.2:若拓扑空间X可以表示为一族连通子集的并集,并且任意两个
相交非空,则X连通。
证明:假设 ,其中U、V是开集且
,并设U、V非空也不是X。由于
,则
.由于U非空,一定存在某一个
非空,由于U是X的开闭子集,它就是
的非空的开闭子集,又因为
连通,于是
,从而
.同理,我们可以证明某一个
.如此,
与
交集为空,矛盾。证毕。(真漂亮!)
这个结论威力很大。我们用它来证明下面3个命题。
命题3.3:若拓扑空间X和Y连通,则连通。
证:模仿上面证明乘积紧性的想法。考虑 ,其中并起来的两部分都连通且至少有一个交点
,由上面的命题,
连通.于是
就等于整个
,并且
,从而两两相交非空,再用一次结论就得到
连通。
命题3.4:连通。
证:只要证 连通。与上面类似构造
,只不过最终换成
即可。
命题3.5:X道路连通X连通。
证:固定取空间中一点p,任取一点q,pq之间的道路 作为[0,1]的像都是连通的。又因为
覆盖整个X,并且两两之间至少有交点p,从而X是连通的。
经典反例: ,其中
,
,那么X连通但不道路连通。
接下来一个很自然的问题是:连通加上什么条件能推出道路连通?我们引出如下定义。
定义:一个拓扑空间X称为是局部道路连通的,如果,
p的开邻域U,都存在包含于U的一个p的开邻域V,且V道路连通。
*这里跳过了“邻域基”的概念,所以定义有些繁琐。
命题3.6:X连通+X局部道路连通X道路连通
证:留(lan)作(de)习(da)题(zi)
但请注意“道路连通 局部道路连通”一般是不行的。反例:
.
我们知道了这么多拓扑性质,它们在同胚映射下保持不变,也就是两个空间同胚的必要条件。我们可以用拓扑性质来验证两个空间不同胚。下面举几个简单的例子。
例1:一维球面与R不同胚,因为前者紧而后者不紧。
例2:[0,1)与R不同胚。
这个稍微证一下。假设存在同胚 ,那么“挖”去0这个点,也就是将
限制在(0,1)上依然是同胚。即
是同胚。但是前者连通而后者不连通(不是区间),因此不同胚。
这个例子说明“挖对应点”这个操作不影响是否同胚。
例3:与
不同胚。
因为R挖掉一个点不连通,但 挖掉一个点还是连通的(命题3.4)。
例.......
但是,这种判定方法还有很大的局限性。比如目前我们无法说明 是否同胚;
是否同胚...
所以我们需要代数拓扑的工具,但我还不会。看书去了。
(每次写稍微长一点的文章就感觉:刚开始很起劲什么都想加进去,后面就开始摆烂全都懒得写了)